泰勒公式的施勒米尔希-洛希余项备忘录

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大一上学高数的时候室友就谈到这个东西, 当时没有注意, 后来…

泰勒公式

如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数, 那么存在 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$, 使得对于 $U(x_0)$ 内的任意 $x$, 有

$$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n + o\left((x-x_0)^n\right)$$

式中的 $o\left((x-x_0)^n\right)$ 也被称为佩亚诺余项.

施勒米尔希-洛希余项

根据泰勒公式, 函数 $f(x)$ 可表示为一个 $n$ 次多项式 $p(x)$, 以及一个同 $n$ 相关的余项 $r_n(x)$, 即 $f(x) = p(x) + r_n(x)$. 因此

$$\begin{align*} r_n(x) &= f(x) - p(x) \\ &= f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k \end{align*}$$

设

$$\varphi(z) = f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(z)}{k!}x^k$$

则有 $\varphi(x) = 0$, $\varphi(x_0) = r_n(x)$. 这样就可以通过 $\varphi(z)$ 来研究 $r_n(x)$了, 在接下来的步骤中这会很有用. 将 $\varphi(z)$ 对 $z$ 求导, 得到

$$\varphi'(z) = -\frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^n$$

任取函数 $\psi(x)$, 满足 $\psi(x)$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间连续且可导. 根据柯西中值定理, 有

$$\frac{\varphi(x) - \varphi(x_0)}{\psi(x) - \psi(x_0)} = \frac{\varphi'(x_0+\theta(x-x_0))}{\psi'(x_0+\theta(x-x_0))} \quad (0<\theta<1)$$

故

$$\begin{align*} r_n(x) &= \varphi(x_0) \\ &= \frac{\psi(x) - \psi(x_0)}{\psi'(x_0+\theta(x-x_0))} \cdot \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta(x-x_0))}{n!}(1-\theta)^n (x-x_0)^n \end{align*}$$

取 $\psi(z) = (x-z)^p$, 则 $\psi’(z) = p(x-z)^{p-1}$. 代入并化简后可以得到

$$r_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta(x-x_0))}{n!\ p}(1-\theta)^{n+1-p} (x-x_0)^{n+1}$$

这就是所谓的施勒米尔希-洛希余项. 通过改变 $p$ 的取值可以得到其他形式的余项. 具体而言,

取 $p = n + 1$ 可得到拉格朗日余项为

$$r_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta (x-x_0))}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$$

取 $p = 1$ 可得到柯西余项为

$$r_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \theta (x-x_0))}{n!} (1-\theta)^n (x-x_0)^{n+1}$$

参考资料

• 泰勒展开式的施勒米尔希-洛希余项 - 知乎

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